3.2 Stíněné mikropáskové vedeníPodrobnější popis
|
Obr. 3.2B.1 | Stíněné mikropáskové vedení (podélně homogenní) |
|
V tomto článku se budeme zabývat detaily výpočtu
rozložení elektromagnetického pole v
mikropáskovém stíněném vedení
(obr. 3.2B.1), u něhož se parametry ve směru podélné osy nemění. Potom nám totiž stačí analyzovat jen dvojrozměrnou strukturu
(příčný průřez vedením), což výrazně zjednodušuje výpočet [20]. Pro analýzu
přitom využijeme
vlnovou metodu
(full-wave methods),
metodu konečných prvků.
Jak jsme si uvedli ve vrstvě A, vyjdeme přitom z Maxwellových rovnic v diferenciálním
tvaru, a předpokládáme, že zdroje elektromagnetického pole jsou umístěny ve velké vzdálenosti od oblasti, v níž provádíme výpočet
(pak jsou v oblasti analýzy vnucené proudy Js nulové), že je v dielektriku obklopujícím mikropásek
nulová objemová hustota náboje ρ, že prostředí ve stínicím vlnovodu je lineární a izotropní
(permitivita a permeabilita jsou skaláry, jejichž hodnota nezávisí na velikosti příslušné intenzity), že dielektrikum vykazuje
elektrické ztráty (reprezentováno měrnou elektrickou vodivostí σ) a že všechny kovové části
(stínicí vlnovod, mikropásek) jsou dokonalými elektrickými vodiči.
Analyzované
mikropáskové vedení
umístíme do
kartézského souřadného systému
(souřadnice x a y v příčném směru, souřadnice z podélná).
Potom můžeme říci, že se elektromagnetická vlna bude ve struktuře šířit ve směru podélné osy z (podél mikropásku)
a že závislost vektoru elektrické intenzity na této podélné souřadnici bude popsána vztahem
|
,
|
( 3.2B.1 )
|
kde γ je
konstanta šíření
(propagation constant).
Vyjádříme-li všechny vektory jako součet vektoru příčného (index t jako transversal) a vektoru podélného (index z podle
podélné osy), dostáváme
|
,
|
( 3.2B.2a )
|
|
.
|
( 3.2B.2b )
|
Zatímco (3.2B.2a) je vektorovou rovnicí pro příčné složky vektorů, (3.2B.2b) je skalární rovnicí
pro podélné složky vektorů. V těchto vztazích značí ∇t příčný operátor nabla, Et
je příčný vektor elektrické intenzity, γ je
konstanta šíření,
Ez značí podélnou složku vektoru elektrické intenzity, k0 je
vlnové číslo
ve vakuu, μr značí relativní permeabilitu uvnitř struktury,
ε~r je komplexní relativní permitivita uvnitř struktury a
z0 značí jednotkový vektor v podélném směru.
Soustavu diferenciálních rovnic (3.2B.2) musíme doplnit okrajovými podmínkami, kterým musí řešení soustavy
(3.2B.2) vyhovovat
|
,
|
(3.2B.3a )
|
|
.
|
( 3.2B.3b )
|
Rovnice (3.2B.2), doplněné
okrajovými podmínkami
(3.2B.3), budou výchozími vztahy pro vlnovou analýzu našeho
stíněného mikropáskového vedení.
Musíme si však uvědomit, že v soustavě (3.2B.2), (3.2B.3) máme zahrnutu pouze první a druhou
Maxwellovou rovnici. Aby řešení automaticky vyhovovalo i třetí a čtvrté Maxwellově rovnici, musíme pracovat s tzv.
hybridními konečnými prvky.
Při analýze stíněného mikropáskového vedení pomocí
hybridních konečných prvků
musíme zahrnout do výpočtů všechny složky elektrické intenzity nebo všechny složky intenzity magnetické. Výchozím vztahem analýzy
přitom je (3.2B.2).
|
Obr. 3.2B.2 | Příklady sítí obdélníkových dvojprvků pro analýzu stíněného mikropáskového vedení |
|
Podstata
hybridních konečných prvků
spočívá v modelování podélné složky elektrické nebo magnetické intenzity pomocí
uzlové aproximace
a v modelování příčných složek elektrické nebo magnetické intenzity pomocí aproximace, založené na
hranových vektorech
(edge vectors).
V prvém kroku
metody konečných prvků
je třeba analyzovanou oblast (v našem případě průřez mikropáskového stíněného vedení) rozdělit na
konečné prvky
(podoblasti, které se navzájem nepřekrývají a jejichž sjednocení dává celou analyzovanou oblast). V prostoru konečného prvku musejí
být parametry analyzované struktury (permitivita, permeabilita, vodivost) konstantní. Na velikost a na tvar konečných prvků
přitom nejsou kladena žádná omezení. Příklady sítí pro naše stíněné mikropáskové vedení jsou nakresleny na obr. 3.2B.2.
V druhém kroku řešení formálně vyjádříme aproximaci hledané neznámé funkce nad celou plochou jednoho každého
konečného prvku.
Obvykle přitom neznámé řešení aproximujeme lineární kombinací zvolených aproximačních funkcí a neznámých aproximačních koeficientů.
V případě našeho mikropáskového vedení musíme vyjádřit formální aproximaci skalární funkce
Ez = Ez(x,y) a aproximaci funkce vektorové
Et = Et (x,y). Začněme funkcí skalární.
Globální aproximaci skalární funkce Ez v celém průřezu mikropáskového vedení budeme sestavovat z lokálních
aproximací na jednotlivých
konečných prvcích.
Lokální aproximaci podélné složky vektoru elektrické intenzity na
konečném prvku
vyjádříme jako
lineární kombinaci
zvolených aproximačních funkcí a neznámých aproximačních koeficientů. V případě lineární aproximace sestavíme aproximační funkci
nad trojúhelníkovým konečným prvkem jako lineární kombinaci tří dílčích lineárních funkcí (tří rovin). Každá dílčí lineární
funkce nabývá v jednom vrcholu trojúhelníkového konečného prvku jednotkové hodnoty (každá funkce vždy v jiném vrcholu) a nulové
hodnoty ve zbývajících dvou vrcholech (viz obr. 3.2B.3, druhý až čtvrtý obrázek zleva). Koeficienty cn
u dílčích funkcí v lineární kombinaci budou mít pak význam prostorových vzorků hledané funkce ve vrcholech konečného prvku
(obr. 3.2B.3). O vrcholech konečného prvku budeme v dalším hovořit o vrcholech jako o
uzlech
(nodes) a o funkčních hodnotách potenciálu v těchto bodech jako o
hodnotách uzlových
(nodal values).
|
Obr. 3.2B.3 | Lineární aproximace potenciálu na konečném prvku, složená ze tří lineárních tvarových funkcí |
|
Dílčím aproximačním funkcím říkáme
funkce tvarové
(shape functions), neboť jejich průběh (tvar), jenž závisí na stupni aproximačního polynomu, ovlivňuje i průběh
výsledné aproximace. Všechny tvarové funkce, které nabývají jednotkové hodnoty ve stejném uzlu (viz obr. 3.2B.4), pak
společně tvoří
funkci bázovou
(basis function).
|
Obr. 3.2B.4 | Lineární bázová funkce, příslušející m-tému uzlu |
|
V mnoha případech je výhodnější použít aproximační funkce vyšších řádů. I když u aproximací vyšších řádů musí
trojúhelníkový prvek obsahovat více uzlů (6 u kvadratické aproximace, 10 u aproximace kubické, atd.), obvykle dosáhneme stejné
chyby řešení jako u lineární aproximace při využití podstatně nižšího počtu
konečných prvků.
Aproximační funkce vyšších řádů mají totiž hladší průběh, takže lépe odpovídají průběhům veličin v přírodě kolem nás.
|
Obr. 3.2B.5 | Dvojrozměrné simplexní souřadnice |
|
Nyní, když víme, co jsou to
tvarové funkce
a jak vypadají, pokusíme se pro ně najít vhodné matematické vyjádření. Nejčastěji se k tomuto účelu využívají tzv.
Lagrangeovy polynomy,
vyjádřené pomocí
simplexních souřadnic
[21].
Začněme vysvětlením pojmu simplexní souřadnice (simplex coordinates). V případě trojúhelníkových
konečných prvků
mají simplexní souřadnicové osy směr výšek trojúhelníka. Simplexní souřadnice nabývají hodnoty 1 ve vrcholu trojúhelníku
a hodnoty 0 na protilehlé straně trojúhelníka. Simplexní souřadnice nezávisejí na tvaru ani na velikosti trojúhelníkového prvku,
a proto lze všechny potřebné výpočty provést v simplexních souřadnicích pouze pro jediný konečný prvek a získané výsledky pak
přepočíst pro konečné prvky ostatní.
Co se týká fyzikální podstaty simplexních souřadnic, obecný bod P na ploše trojúhelníkového prvku rozděluje tuto
plochu na tři dílčí trojúhelníky (obr. 3.2B.6). Podíl obsahu dílčího trojúhelníka, ležícího proti prvnímu uzlu, k obsahu celého
trojúhelníkového konečného prvku, udává souřadnici bodu P na první simplexní souřadné ose
přičemž se zbývajícími simplexními souřadnými osami je to podobné. Ve vztahu (3.2B.4) značí
σ(S1) obsah dílčího trojúhelníka, ležícího proti prvnímu uzlu, a
σ(S) symbolizuje obsah celého trojúhelníkového konečného prvku. Je tudíž zřejmé,
že součet všech tří simplexních souřadnic v libovolném bodě trojúhelníkového konečného prvku musí být roven jedné
|
Obr. 3.2B.6 | Podstata simplexních souřadnic |
|
A jak je ukázáno v [21], tento výrok lze zobecnit pro libovolnou dimenzi a pro libovolný
stupeň aproximačního polynomu.
Nyní, když máme jasno v simplexních souřadnicích, můžeme se vrátit k
Lagrangeovým interpolačním polynomům.
Lagrangeův polynom n-tého stupně obecně vyjádříme pomocí simplexní souřadnice ξ vztahem
|
,
|
( 3.2B.6 )
|
kde n je stupeň aproximačního polynomu. Vztah (3.2B.6) přitom popisuje najednou celou množinu polynomů, přičemž
jednotlivé prvky této množiny se liší indexem m, který může nabývat hodnot od nuly po stupeň polynomu n.
|
Obr. 3.2B.7 | Množina Lagrangeových polynomů druhého stupně |
|
Nuly polynomů Rm(n) jsou ekvidistantně rozmístěny na souřadnicích
ξ = 0, 1/n až (m-1)/n, jednotkové hodnoty polynom nabývá v
ξ = m/n. Tudíž, Rm(n) má m ekvidistantně
rozmístěných nul nalevo od souřadnice ξ = m/n a žádnou napravo.
Výše uvedené konstatování je ilustrováno obrázkem 3.2B.7, v němž jsou vykresleny prvky množiny kvadratických polynomů
R(2). Z obrázků je zřejmé výše popsané ekvidistantní rozmístění nul. Prvek množiny s indexem 0, tj. R0(2)
nemá žádnou nulu nalevo od souřadnice 0 a nabývá jednotkové hodnoty na souřadnici 0. Prvek množiny s indexem 1, tj.
R1(2), má jednu nulu na souřadnici 0 a nabývá jedničky v 1/2. Konečně prvek množiny s indexem 2, tj.,
R2(2), má nuly na souřadnicích 0 a 1/2 a je jednotkový na souřadnici 1.
|
Obr. 3.2B.8 | Jednorozměrný konečný prvek, jeho simplexní souřadnice a indexy prvků množiny Lagrangeových polynomů |
|
Nyní z právě zavedených
Lagrangeových polynomů
sestavíme kvadratické tvarové funkce pro jednorozměrný konečný prvek.
Simplexní souřadnice
ξ1 bude na tomto prvku orientována zleva doprava, souřadnice
ξ2 půjde zprava doleva (obr. 3.2B.8). Tvarovou funkci uzlu 1 (jednotková hodnota v uzlu 1,
nulová hodnota v uzlech 2 a 3) pak nejsnáze vytvoříme vynásobením Lagrangeova polynomu proměnné
ξ1 s indexem 0 (konstantní funkce s hodnotou 1) Lagrangeovým polynomem proměnné
ξ2 s indexem 2 (jelikož souřadnice ξ2
je orientována zprava doleva, musíme průběh funkce R2(2) z obr. 3.2B.7 zrcadlově otočit v horizontálním směru).
Obdobným způsobem můžeme postupovat i při vytváření tvarových funkcí pro uzly 2 a 3. V případě uzlu 2 bychom vzájemně
násobili
Lagrangeovy polynomy
proměnných ξ1 a ξ2 s indexem 1, v případě uzlu 3
je zapotřebí vynásobit Lagrangeův polynom proměnné ξ1 s indexem 2 Lagrangeovým polynomem
proměnné ξ2 s indexem 0. Indexy Lagrangeových polynomů, tvořících tvarové funkce jednotlivých
uzlů, jsou u těchto uzlů zapsány i v obr. 3.2B.8, a to ve formě čísel sestávajících ze dvou číslic; první číslice je index
Lagrangeova polynomu souřadnice ξ1, druhá číslice potom odpovídá indexu Lagrangeova polynomu
souřadnice ξ2. Součet těchto číslic musí být vždy roven stupni aproximačního polynomu n.
Obecně tedy můžeme tvarovou funkci uzlu (i, j) jednorozměrného konečného prvku vyjádřit vztahem
|
,
|
( 3.2B.7a )
|
kde n je stupeň aproximačního polynomu, R značí
Lagrangeovy polynomy,
definované vztahem (3.2B.5) a ξ jsou
simplexní souřadnice.
V dalším kroku přejdeme k dvojrozměrnému
konečnému prvku.
Jedinou změnou, ke které v tomto případě dojde, je přidání nové simplexní souřadnice ξ3
ke dvěma souřadnicím stávajícím ξ1 a ξ2.
Ke dvěma činitelům, vystupujícím ve vztahu pro
tvarové funkce
na jednorozměrném prvku, pak tedy stačí přidat třetí činitel, odpovídající
Lagrangeově polynomu
nové
simplexní souřadnice
ξ3
|
.
|
( 3.2B.7b )
|
Ve výše uvedeném vztahu značí ξ1, ξ2 a
ξ3
simplexní souřadnice
dvojrozměrného
konečného prvku,
n je stupeň aproximačního polynomu a R jsou Lagrangeovy polynomy.
Dosazením do vztahů (3.2B.6) a (3.2B.7) dostáváme pro lineární aproximaci
tvarové funkce
|
,
,
.
|
( 3.2B.8 )
|
Nyní, když jsme se seznámili s bázovými funkcemi pro aproximaci skalární funkce Ez,
věnujme se aproximaci vektorové funkce Et. Aproximace vektorové funkce formálně odpovídá aproximaci
funkce skalární, jen bázové funkce jsou funkcemi vektorovými
|
.
|
( 3.2B.9 )
|
|
Obr. 3.2B.9 | K vysvětlení chování vektorové tvarové funkce; pro přehlednost vynechány horní indexy |
|
Ve vztahu (3.2B.9) značí et,01(n)
hranový aproximační koeficient
pro aproximaci rozložení příčných složek vektoru elektrické intenzity, který náleží k hraně 0-1 n-tého
konečného prvku.
Dále, symbol Nt,01(n) značí vektorovou tvarovou funkci, kterou násobíme
hranový koeficient 0-1, abychom dostali příspěvek tohoto koeficientu k aproximaci rozložení příčných složek elektrické intenzity
na ploše n-tého konečného prvku. Obdobně je tomu i u zbývajících dvou vektorových tvarových funkcí.
Pro vektorové
tvarové funkce
přitom platí
|
,
|
( 3.2B.10 )
|
kde A(n) značí plochu n-tého
konečného prvku,
lk,i(n) je délka hrany k-i n-tého konečného prvku,
nk,i(n) je normála k hraně k-i n-tého konečného prvku a
ξi je klasická
simplexní souřadnice,
která nabývá jednotkové hodnoty v uzlu i a je nulová na protilehlé hraně. Význam ostatních symbolů je pak obdobný.
Podívejme se blíže na chování
tvarové funkce
(2.3B.10) v uzlu 0. Zde
simplexní souřadnice
ξ0 nabývá jednotkové hodnoty a ξ1 je nulová.
V uzlu 0 má tedy tvarová funkce (2.3B.10) směr normály k hraně 2-0, orientované dovnitř
konečného prvku
(důsledek záporného znaménka) a její velikost je rovna obrácené hodnotě výšky v20. Co se týká chování
v uzlu 1, zde má tvarová funkce směr a orientaci normály k hraně 1-2 a její velikost je rovna převrácené hodnotě výšky
v01. Při pohybu z uzlu 0 do uzlu 1 po hraně 0-1 se tedy směr tvarové funkce (2.3B.10) plynule mění z
–n01(n) na +n12(n) a jeho velikost z hodnoty
(1/v20) na (1/v01). A jelikož tvarová funkce (2.3B.10) nezávisí na souřadnici
ξ2, je popsané chování funkce stejné i na všech rovnoběžkách s hranou 0-1.
Nyní, když máme formálně aproximovány všechny složky vektoru elektrické intenzity, můžeme pokračovat ve zbývajících krocích
metody konečných prvků.
Těmi kroky je dosazení aproximace do řešené rovnice, vyjádření chyby (rozdíl mezi aproximací řešení a řešením přesným)
a její minimalizace. Provedením těchto kroků dospějeme k výsledné maticové rovnici
|
,
|
|
kde
|
,
|
( 3.2B.11a )
|
|
,
|
( 3.2B.11b )
|
|
,
|
( 3.2B.11c )
|
|
,
|
( 3.2B.11d )
|
|
.
|
( 3.2B.11e )
|
Ve výše uvedených vztazích je Et(n) sloupcový vektor tří neznámých
hranových aproximačních koeficientů
(pro aproximaci příčných složek vektoru elektrické intenzity) na ploše n-tého
konečného prvku
a Ez(n) značí sloupcový vektor tří neznámých
uzlových aproximačních koeficientů
(pro aproximaci podélné složky vektoru elektrické intenzity) opět na n-tém konečném prvku. Dále,
γ značí
komplexní konstantu šíření,
k0 je
vlnové číslo
ve vakuu, μr(n) je relativní permeabilita n-tého
konečného prvku a ε~r(n) je komplexní relativní
permitivita téhož prvku. Symbol dS značí elementární plošku pro integraci po ploše n-tého konečného prvku a symbol
S(n) vyjadřuje celkovou plochu n-tého konečného prvku. Suma se sčítacím indexem m
symbolizuje sčítání přes všechny uzly konečného prvku (tj. m = 0, 1, 2) a suma s indexy i, j znamená sčítání
přes všechny hrany prvku (tj. i, j = 0-1, 1-2, 2-0). Symboly et, ij(n)
jsou hranové aproximační koeficienty, symboly ez, m (n) jsou aproximační koeficienty uzlové.
Matice Tt(n), G(n), Sz
(n), Tz(n) a S t(n)
jsou matice koeficientů n-tého konečného prvku o rozměru 3 × 3. Elementy zmíněných matic
byly vypočteny integrací součinu
bázových
a
váhových funkcí
(nebo jejich derivací) na ploše n-tého
konečného prvku
(samozřejmě v
simplexních souřadnicích).
Tyto matice můžeme vyčíslit pomocí následujících vztahů
|
,
|
( 3.2B.12a )
|
|
,
|
( 3.2B.12b )
|
|
,
|
( 3.2B.12c )
|
|
,
|
( 3.2B.12d )
|
|
,
|
( 3.2B.12e )
|
kde
|
|
|
A(n) je plocha n-tého
konečného prvku
a θi (n) je úhel u i-tého vrcholu n-tého
konečného prvku. Uvedené vztahy přitom platí pro následující organizaci uzlů a hran
|
.
|
( 3.2B.12f )
|
Vyřešením maticové rovnice pro vektor neznámých aproximačních koeficientů získáme řešení problému. Dosazením
aproximačních koeficientů do formální aproximace dostaneme skutečnou aproximaci hledané funkce v každém bodě n-tého
konečného prvku,
sjednocením aproximací nad všemi konečnými prvky pak získáme globální aproximaci ve všech bodech prostoru, nad kterým jsme
hledali řešení zadané parciální diferenciální rovnice.
Ve vrstvě C nabízíme čtenáři matlabovský program, který pomocí právě popsané
verze metody konečných prvků analyzuje stíněné mikropáskové vedení. Praktický programátorský popis programu uvádíme ve
vrstvě D.
|