4.5 Flíčková anténa

Podrobnější popis

V tomto odstavci se budeme věnovat momentové analýze dvojrozměrné mikropáskové antény. V podstatě se jedná o rozšíření postupu, popsaného v čl. 4.4, na další rozměr.

Jak již bylo řečeno, potřebujeme vyjádřit intenzitu elektrického pole pomocí proudů a nábojů na buňkách. Učiníme tak prostřednictvím vektorového potenciálu A a potenciálu skalárního φ; oproti předchozím článkům uvažujeme pozitivní konvenci, tj. exp(+jkr)

E = - j ω μ A - \nabla φ

( 4.5B.1 )

Vektorový potenciál A a skalární potenciál φ elementárních plošných proudů a nábojů přitom fyzikálně představují příspěvky těchto zdrojů k elektrickému poli v určitém bodě.

Matematicky není snadné tyto potenciály získat, neboť jsou řešením tzv. Sommersfeldových integrálů. Pro některé jednoduché případy se však dají sestavit na základě fyzikálního pohledu na věc. Takový přístup uplatníme i zde.

Uvažujme případ, kdy máme dvojrozměrný motiv anténního prvku nad zemní plochou (obr. 4.5B.1). Předpokládáme (pro tuto chvíli) relativní permitivitu dielektrika rovnu jedné a počítáme příspěvek elementární proudové a nábojové plošky v bodě r k intenzitě v bodě r'. Použijeme Coulombova (resp. Biot-Savartova) zákona s respektováním odrazu od zemní plochy (princip zrcadlení).

Obr. 4.5B.1

Souřadný systém pro výpočet příspěvků elementárních nábojových (resp. proudových) buněk

Tím dostaneme

A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} [\frac{\exp (- j k r_{0})}{r_{0}} - \frac{\exp (- j k r_{1})}{r_{1}}] d r^{'}

φ (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} [\frac{\exp (- j k r_{0})}{r_{0}} - \frac{\exp (- j k r_{1})}{r_{1}}] d r^{'}

kde pro vzdálenosti r₀ a r₁ platí

r_{0} = \sqrt{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2}}

r_{1} = \sqrt{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(2 h)}^{2}}

Zde r = (x, y), r' = (x'', y'') a h představuje tloušťku substrátu.

Zahrnutí vlivu dielektrika už je obtížnější. Fyzikální představa říká, že vlna může do cílového bodu r přijít ne jednou, ale nekonečně mnoha cestami. V literatuře najdeme následující vztah:

φ (r) = \frac{1 - η}{4 π ε} [\frac{\exp (- j k_{0} r_{0})}{r_{0}} - (1 + η) \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{{(- η)}^{i - 1} \exp (- j k_{0} r_{i})}{r_{i}}]

kde

η = \frac{ε_{r} - 1}{ε_{r} + 1}, r_{i} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + {(2 i h)}^{2}}

a ε_r je relativní permitivita substrátu.

Vektorový potenciál A zůstane i po přidání dielektrika nezměněn.

V případě zdrojů konečné velikosti (tj. našich obdélníkových buněk) bude jejich příspěvek vyjádřen integrálně

A (r) = \iint_{p ř e s p l o c h u b u ň k y} G_{A} (| r - r^{'} |) J (r^{'}) d S^{'}

( 4.5B.2 )

φ (r) = \iint_{p ř e s p l o c h u b u ň k y} G_{q} (| r - r^{'} |) q (r^{'}) d S^{'}

( 4.5B.3 )

Nyní je budeme věnovat diskretizaci rovnice (4.5B.2). Pro splnění tohoto úkolu musíme znát příspěvek libovolné proudové (resp. nábojové) buňky k potenciálu ve středu buňky jiné. Proto zavedeme označení

m_{i j}^{A_{x}} = \iint_{p ř e s p l o c h u i - t é b u ň k y} G_{x x}^{A} (| r_{j} - r^{'} |) J_{x} (r^{'}) d S^{'}

( 4.5B.4a )

m_{i j}^{A_{y}} = \iint_{p ř e s p l o c h u i - t é b u ň k y} G_{y y}^{A} (| r_{j} - r^{'} |) J_{y} (r^{'}) d S^{'}

( 4.5B.4b )

m_{i j}^{φ} = \iint_{p ř e s p l o c h u i - t é b u ň k y} G^{q} (| r_{j} - r^{'} |) σ (r^{'}) d S^{'}

( 4.5B.5 )

Obr. 4.5B.2

Příklad sítě nábojových buněk. Zeleně vyznačeny proudové složky (buňky) J_x, červeně vyznačeny složky (buňky) J_y.

Výraz m_ij^Ax říká jak j-tá proudová buňka pro složku x přispívá k vektorovému potenciálu ve středu i-té buňky. Podobně je tomu i u výrazu m_ij^Ay pro složku J_y a u výrazu m_ij^φ pro skalární potenciál. Jak jsme uvedli ve vrstvě A, jsou sítě proudových buněk a buněk nábojových navzájem posunuty o polovinu buňky, a používají tedy jiné číslování. Navíc proudové buňky mají nezávislé číslování pro složku J_x a pro složku J_y. Pro lepší představu číslování uvádíme na obr. 4.5B.2 síť nábojových buněk pro stejný případ, jako byl uveden na obr. 4.5A.3.

Pro účely sestavení rovnic pro neznámé proudové hodnoty je nutné mít k dispozici funkci, která vypočte příspěvky mezi dvěma libovolnými buňkami (stejného typu). Díky rozsahu tohoto článku není možné detailně popsat, jak taková funkce pracuje.

Obr. 4.5B.3

Motiv typu hokejka. Nábojové buňky 1 až 4. Proudové uzlové hodnoty J_x¹, J_x², J_y¹

Důležité však je, že před prvním voláním funkce se vypočtou jen všechny nutné příspěvky, neboť příspěvky některých buněk se opakují (např. buňky 1 a 2 pro složku J_x mají stejný příspěvek jako buňky 3 a 4). Tyto všechny vzájemné příspěvky se uloží do tzv. momentové tabulky (matice). Při každém dalším volání funkce se pouze čte tento příspěvek na odpovídajícím místě momentové matice.

Nyní se pokusíme o sestavení soustavy rovnic. Nebude zde však uveden obecný vztah pro obecný případ, ale bude ukázána konkrétní jednoduchá situace. V obr. 4.5B.3 je nakreslen motiv typu hokejka, který má čtyři nábojové buňky a tři buňky proudové (z toho dvě buňky pro J_x a jednu buňku pro J_y).

Nyní sestavíme rovnice pro intenzitu E₁^x

E_{1}^{x} = - j ω \sum_{j = 1}^{3} m_{1 j}^{A_{x}} - \frac{1}{Δ} [- \frac{j}{ω} \frac{J_{1}^{x} - 0}{Δx} + \frac{J_{1}^{y} - 0}{Δy} (m_{21}^{φ} - m_{11}^{φ}) - \frac{j}{ω} \frac{0 - J_{2}^{x}}{Δx} + \frac{0 - 0}{Δy} (m_{23}^{φ} - m_{13}^{φ}) - \frac{j}{ω} \frac{0 - 0}{Δx} + \frac{0 - J_{2}^{y}}{Δy} (m_{24}^{φ} - m_{14}^{φ})]

První člen představuje příspěvek všech proudových buněk k proudové buňce J_x¹. Druhý člen je příspěvkem od nábojových buněk; výraz {}/Δx představuje náhradu derivace ∂φ/∂x středovou diferencí (viz čl. 4.1). Obsahem složené závorky jsou čtyři členy, protože máme celkem čtyři nábojové buňky. Např. první člen představuje příspěvek první nábojové buňky do středu druhé buňky minus příspěvek první nábojové buňky do středu první buňky. Tj. první index u členů m je vždy střed cílové nábojové buňky, v níž příspěvek počítáme, a druhý index je pak index zdrojové nábojové buňky. Náboj sídlící v každé buňce je přitom spočten za pomoci proudových uzlových proudových hustot na stěnách s využitím rovnice kontinuity

\nabla \cdot J = - j ω σ

( 4.5B.6 )

kde σ je v našem případě plošná hustota náboje.

Podobným způsobem bychom sestavili rovnici pro intenzitu E₂^x a pro intenzitu E₁^y. Tolik tedy k sestavení rovnic. Dále se budeme věnovat buzení struktury.

Nejjednodušším způsobem buzení struktury je buzení rovinnou vlnou (viz čl. 4.4). Stačí totiž pro každou proudovou buňku položit E_x = -E_x^I a E_y = -E_y^I, kde E_x^I a E_y^I představují složky intenzity dopadající vlny. My však budeme budit anténu horizontálním napěťovým zdrojem. Situaci pro případ struktury z obr. 4.5B.2 ukazuje obrázek 4.5B.4.

V místě, kde byla v obr. 4.5B.2 symbolem 1 označena vstupní svorka, je nyní umístěn napěťový zdroj o napětí V_S. Tento zdroj dodává do analyzované struktury proud I_S. Jeden pól zdroje je připojen přímo na analyzovanou strukturu, druhý pak na pomocný mikropásek (tzv. stub), který představuje proti zemi určitou impedanci Z_stub. Vstupní impedance Z₁ je pak dána vztahem

Z_{1} = Z_{S} - Z_{s t u b}

( 4.5B.7 )

kde impedanci Z_S stanovíme z podílu napětí V_S (jeho hodnotu si můžeme při analýze zvolit) a proudu I_S. Impedanci Z_stub stanovíme analyticky jako –Z₀ cotg(β l_stub).

Obr. 4.5B.4

Aproximace proudové distribuce na struktuře z obr. 4.5B.2; horizontální de-embedding.

Pokud provedeme výpočet impedance naznačeným způsobem, nebude výsledek přesně odpovídat skutečnosti, protože jsme neuvážili vliv koncových kapacit (viz obr. 4.5B.5).

Obr. 4.5B.5

Koncové kapacity

Při respektování kapacit je nutné k impedanci Z_stub připočíst paralelně impedanci Z_S = 1/jω C_S (kapacita C_S není kapacitou otevřeného konce, ale je menší). Tím získáme Z_stub’ = Z_stub || Z_S. Kapacita C_G je však už zahrnuta v impedanci Z_S a po vypočtení impedance Z₁‘ = Z_S – Z_stub‘ je nutné pouze odečíst Z_S. Výsledná (korigovaná) impedance pak je Z₁” = Z₁‘ Z_S / (Z_s–Z₁‘).

Soustava rovnic pro neznámé uzlové hodnoty byla sestavena na základě fyzikálních úvah. Nyní uvedeme obecný matematický postup, odpovídající výše uvedeným úvahám:

Proudovou hustotu aproximujeme pomocí bázových funkcí
$J_{X} (x, y) = \sum_{n = 1}^{N_{x}} J_{X_{n}} B_{X_{n}} J_{Y} (x, y) = \sum_{n = 1}^{N_{y}} J_{Y_{n}} B_{Y_{n}}$
V našem případě jsou bázové funkce po částech konstantní. Složitějšími bázovými funkcemi jsou pak stříškové bázové funkce (anglicky rooftops), které se v jednom směru mění lineárně a v druhém zůstávají konstantní.

Za potenciály dosadíme do (4.5B.1) jejich integrální vyjádření pomocí Greenových funkcí

{- j ω \iint_{Ω} G_{A} (x - x^{'}, y - y^{'}) J (x^{'}, y^{'}) d x^{'} d y^{'}} + {- \nabla [\iint_{Ω} G_{q} (x - x^{'}, y - y^{'}) ρ (x^{'}, y^{'}) d x^{'} d y^{'}]} + E^{I} = 0

Zde symbol Ω představuje oblast pokovení a E^I je intenzita dopadající vlny.
Za náboj dosadíme z rovnice kontinuity a proudovou hustotu vyjádříme jako kombinaci bázových funkcí. Tím dostáváme

{\tilde{J}}_{x}^{(n)} (x, y) = \sum_{n x = 1}^{N_{x}} J_{x}^{(n x)} Π^{(n x)} (x, y)

{- \frac{1}{j ω} \frac{\partial}{\partial x} \iint_{Ω} G^{q} (x - x^{'}, y - y^{'}) [\frac{\partial}{\partial x} \sum_{n = 1}^{N_{x}} J_{X_{n}} (x^{'}, y^{'}) + \frac{\partial}{\partial y} \sum_{n = 1}^{N_{y}} J_{Y_{n}} (x^{'}, y^{'})] d x^{'} d y^{'}} + E_{X}^{I} = 0

{+ j ω \iint_{Ω} G_{y y}^{A} (x - x^{'}, y - y^{'}) \sum_{n = 1}^{N_{y}} J_{Y_{n}} (x^{'}, y^{'}) d x^{'} d y^{'}} -

{- \frac{1}{j ω} \frac{\partial}{\partial y} \iint_{Ω} G^{q} (x - x^{'}, y - y^{'}) [\frac{\partial}{\partial x} \sum_{n = 1}^{N_{x}} J_{X_{n}} (x^{'}, y^{'}) + \frac{\partial}{\partial y} \sum_{n = 1}^{N_{y}} J_{Y_{n}} (x^{'}, y^{'})] d x^{'} d y^{'}} + E_{Y}^{I} = 0

Pomocí Galerkinovy metody minimalizujeme chybu aproximace proudu. Dostáváme tak soustavu rovnic
$\sum_{n} J_{n}^{X} {〈 T_{x m}, G_{x x}^{A} * B_{x n} 〉 + \frac{1}{ω^{2}} 〈 T_{x m}, \frac{\partial}{\partial x} [G_{q} * \frac{\partial}{\partial x} B_{X_{n}}] 〉} + \sum_{n} J_{n}^{Y} {\frac{1}{ω^{2}} 〈 T_{x m}, \frac{\partial}{\partial x} [G_{q} * \frac{\partial}{\partial y} B_{y n}] 〉} = 0$ ,

$\sum_{n} J_{n}^{X} {〈 T_{y m}, G_{y y}^{A} * B_{y n} 〉 + \frac{1}{ω^{2}} 〈 T_{y m}, \frac{\partial}{\partial y} [G_{q} * \frac{\partial}{\partial y} B_{y n}] 〉} + \sum_{n} J_{n}^{X} {\frac{1}{ω^{2}} 〈 T_{y m}, \frac{\partial}{\partial y} [G_{q} * \frac{\partial}{\partial x} B_{x n}] 〉} = 0$ ,
v níž se vyskytují čtyřnásobné integrály. Vnitřní integrály jsou integrály konvoluční, a proto je značíme hvězdičkou. Vnější integrály jsou integrály korelační a jsou označeny závorkami <>. Symbolem T značíme váhové funkce (v Galerkinově metodě jsou jimi funkce bázové).
Naše formulace momentové metody z matematického pohledu odpovídá případu, kdy roli váhových funkcí hrají Diracovy impulsy. Tento postup se označuje jako kolokační metoda.
Efektivně vypočteme všechny integrály a sestavíme soustavu rovnic. Jejím řešením jsou pak neznáme uzlové hodnoty proudové hustoty.
Ze známého rozložení proudu stanovíme další parametry antény ( činitel odrazu na příslušném portu, vstupní impedance, atd.).

Tím naše povídání o analýze mikropáskových antén momentovou metodou končí. Konkrétní příklady výpočtu uvádíme ve vrstvě C.