fixed width

6.1 Analýza kmitočtově selektivních povrchů

Podrobnější popis

V této vrstvě učebnice se budeme zabývat detailním pohledem na bázové funkce, které se při analýze kmitočtově selektivních povrchů používají při numerickém hledání rozložení proudu na elementu. Vrstva tedy výjimečně nemá charakter souvislého textu, ale soustředí se jen na řešení dílčího, náročnějšího problému.

Ve vrstvě A jsme dospěli pro kmitočtově selektivní povrch, sestávající z kovových elementů, ke vztahu pro elektrické pole v oblasti prostorových spekter

12ωεm,n[ k2αm2k2αm2βn2αmβnk2αm2βn2αmβnk2αm2βn2k2βn2k2αm2βn2 ][ Jx(αm,βn)Jy(αm,βn) ]exp[ j(αmx+βny) ]=[ ExI(x,y)EyI(x,y) ]. ( 6.1B.1 )

Ve výše uvedeném vztahu značí ω úhlový kmitočet vlny, ε je permitivita okolí kmitočtově selektivního povrchu, αm a βn jsou prostorové kmitočty, k značí vlnové číslo ve volném prostoru (ve vakuu), Jx a Jy jsou složky vektoru proudové hustoty na elementu a konečně, ExIa EyI značí složky vektoru elektrické intenzity dopadající vlny.

Při řešení problému nejprve v řešené rovnici (6.1B.1) aproximujeme neznámé rozložení proudové hustoty pomocí vhodně zvolených bázových funkcí a v tuto chvíli neznámých aproximačních koeficientů. Takovou formální aproximaci dosadíme do řešeného vztahu (6.1B.1). Jelikož aproximace řešení nesplňuje výchozívztah zcela přesně, musíme tuto skutečnost respektovat přičtením zbytkové funkce (rezidua). Čím menších hodnot zbytková funkce nabývá, tím přesnější je nalezená aproximace. K minimalizaci rezidua přitom využijeme Galerkinovu metodu (reziduum postupně násobíme tolika bázovými funkcemi, kolik je neznámých aproximačních koeficientů; tak dostaneme soustavu N lineárních algebraických rovnic pro N neznámých aproximačních koeficientů).

Při volbě bázových funkcí existují v zásadě dva přístupy. První z nich používá bázové funkce, které nabývají nenulových hodnot na celé analyzované oblasti. Tyto funkce jsou voleny tak, aby fyzikálně odpovídaly stojatým vlnám proudu na elementu.

Druhý přístup dělí analyzovanou oblast na menší podoblasti, na nichž je proud aproximován pomocí bázových funkcí, jejichž funkční hodnota je nenulová jen na dané podoblasti. Výhoda tohoto přístupu spočívá v tom, že lze snadno analyzovat kmitočtově selektivní povrchy s libovolně tvarovanými elementy.


Harmonické bázové funkce

Uvažujme kmitočtově selektivní povrch, sestávající z pravoúhlých dokonale vodivých elementů o rozměrech a’ a b’. Složky proudové hustoty J lze pak aproximovat následovně [17]

J(x,y)=p=0Pq=0QApqΨpqTM+FpqΨpqTE, ( 6.1B.2 )

kde

ΨpqTE(x,y)=[ pπasin(pπxa)cos(qπyb)ux+qπbcos(pπxa)sin(qπyb)uy ]exp[ j(α0x+β0y) ],
ΨpqTM(x,y)=[ pπbsin(pπxa)cos(qπyb)uxqπacos(pπxa)sin(qπyb)uy ]exp[ j(α0x+β0y) ].
( 6.1B.3 )

Zde ΨpqTE a ΨpqTM představují dvě rozdílné funkce pro rovnoběžnou polarizaci a pro polarizaci kolmou. Tyto funkce se liší ve dvou ohledech:

  1. Indexy p, q pro funkci ΨpqTE mohou nabývat nulové hodnoty, zatímco pro funkci ΨpqTM se pohybují od jedné výše.
  2. Složka Jy pro kolmou polarizaci musí mít opačné znaménko než složka Jy pro polarizaci rovnoběžnou.

Aby měl čtenář lepší povědomí o tom, jaký je vizuální rozdíl mezi proudy buzenými elektrickou intenzitou dopadající vlny, která je rovnoběžná resp. kolmá v rovině dopadu, jsou v obr. 6.1B.1 vykreslena směrová pole proudové hustoty pro vid (1,1) pro rovnoběžnou a kolmou polarizaci.

Obr. 6.1B.1
a)b)
Obr. 6.1B.1Směrové pole proudové hustoty vidu (1,1)
a) pro rovnoběžnou polarizaci (vlevo)
b) pro kolmou polarizaci
Rozměry buňky jsou a=b=12mm, rozměry kovového elementu jsou a' = b' = 12mm; f = 10GHz, ϑ = 1°, φ = 45°, d = 1.5mm, εr = 3.7. Velikost okrajových proudů byla uměle zmenšena oproti skutečnosti. Poloha roviny dopadu je vyznačena červeně.

Harmonické funkce v kombinaci s Čebyševovými polynomy
JTE=sin[ pπa(x+a2) ]Tq(2y/b)1(2y/b)2x+Tp(2x/a)1(2x/a)2sin[ qπb(y+b2) ]y ( 6.1B.4a )
JTM=sin[ pπa(x+a2) ]Tq(2y/b)1(2y/b)2xTp(2x/a)1(2x/a)2sin[ qπb(y+b2) ]y ( 6.1B.4b )

Rozdíl oproti předchozímu je v tom, že namísto funkce kosinus nyní vystupuje Čebyševův polynom. Funkce je volena záměrně tak, aby na hranách dosahovala nekonečných hodnot. Tak je zajištěno věrné chování velkých proudů tekoucích po hranách.

Nyní přistoupíme k řešení rovnice (6.1B.1) Galerkinovou metodou: rovnici (6.1B.1) postupně násobíme bázovými funkcemi a součin integrujeme přes plochu buňky. Pro ryze harmonické bázové funkce dostaneme soustavu

abwm(z)R(z)dz=0m=0,1,N,
p,qAp,q{ m,nΨrsTE(am,βn)K(am,βn)ΨpqTE(am,βn) }+Fpq{ m,nΨrsTE(am,βn)K(am,βn)ΨpqTE(am,βn) }=1abpřeselementEtanI(x,y)ΨpqTE(x,y)dxdy, ( 6.1B.5a )
p,qAp,q{ m,nΨrsTM(am,βn)K(am,βn)ΨpqTM(am,βn) }+Fpq{ m,nΨrsTM(am,βn)K(am,βn)ΨpqTM(am,βn) }=1abpřeselementEtanI(x,y)ΨpqTM(x,y)dxdy. ( 6.1B.5b )

Po vyřešení této soustavy následuje výpočet elektrické intenzity ES ve spektrální oblasti. Intenzita ES je přítomna na levé straně v rovnici (6.1B.1)

ES=12ωεm,n[ k2αm2k2αm2βn2αmβnk2αm2βn2αmβnk2αm2βn2k2βn2k2αm2βn2 ][ Jx(αm,βn)Jy(αm,βn) ]exp[ j(αmx+βny) ]=[ ExI(x,y)EyI(x,y) ]. ( 6.1B.6 )

Při výpočtu intenzity odražené vlny ES = ER budeme přitom uvažovat jen základní harmonickou složku na kmitočtu α0, β0. Pokud je perioda a malá (zpravidla ne více jak polovina délky vlny) a kmitočet se pohybuje v okolí první rezonance povrchu, pak ve vzdálené oblasti od povrchu existuje pouze uniformní pole odražené vlny. Pokud podmínka není splněna, může dojít k vybuzení tzv. parazitních vidů (vyšší prostorové kmitočty nejsou v blízké zóně odfiltrovány a jim odpovídající vlny se šíří dále).

Nyní si vysvětleme, co parazitní vidy šíření fyzikálně znamenají. K ilustraci slouží obr. 6.1B.2. Zachycuje anténní řadu (dvouprvkovou), na kterou dopadá pod obecným úhlem ϑ rovinná vlna. Při dopadu dojde k odrazu podle pravidel geometrické optiky. Část energie se však může šířit i ve směru parazitního laloku (angl. grating lobe).

Obr. 6.1B.2
Obr. 6.1B.2Vysvětlení vzniku parazitních laloků (dvouprvková anténa)

Vznik parazitního laloku je podmíněn dosažením fázového zpoždění rovného násobku 2π paprskem 1 na tučně vyznačené trajektorii. Matematicky zapsáno:

βDxsin(ϑg)+βDxsin(ϑ)=n2π. ( 6.1B.7 )

Směr, ve kterém se objeví parazitní lalok, přitom závisí pouze na kmitočtu dopadající vlny a rozestupu anténních elementů. Nejnižší kmitočet, při kterém se pro daný úhel dopadu vybudí parazitní lalok, nastane pro případ ϑg = 90°:

fg0=ncDx(sinϑ+1). ( 6.1B.8 )

Například pro rozestup prvků a = 21 mm a kolmém dopadu budící (dopadající) vlny se vybudí první parazitní lalok na kmitočtu

fg=131080,021(sin0+1)=14,3GHz. ( 6.1B.9 )

Copyright © 2010 FEEC VUT Brno All rights reserved.