Multimediální učebnice

7.1 Gaussův vlnový svazek

Základní teorie

Při zkoumaní změn parametrů koherentního optického svazku při průchodu optickou trasou budeme předpokládat nejjednodušší laserový svazek vidu TEM₀₀. Svazek vystupující ze zdroje bude rovnoběžný s optickou osou (jeho rovinná vln oplocha bude kolmá na směr šíření). I když svazek nebude modulovaný, rozložení intenzity pole v příčném průřezu svazku nebude obecně konstantní.

Vlny, jejichž normály vlnoploch svírají s optickou osou (osou z) malý úhel, se nazývají paraxiálními vlnami. Tyto vlny musejí splňovat rovnici

\nabla_{T}^{2} A - j 2 k \frac{\partial A}{\partial z} = 0

( 7.1A.1 )

kde

\nabla_{T}^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}

je příčná část Laplaceova operátoru, z je souřadnice podélné osy, k značí vlnové číslo a A je intenzita vlnění.

Jedním z řešení rovnice (7.1A.1) je Gaussův vlnový svazek. Výkon Gaussova svazku je soustředěn do úzkého kužele. Rozložení intenzity v libovolné příčné rovině je dáno kruhově symetrickou Gaussovou funkcí, přičemž osa symetrie je totožná s optickou osou. Šířka Gaussova svazku je minimální v tzv. krčku (v tomto místě má vlna rovinnou vlnoplochu) a od krčku se postupně zvětšuje na obě strany (vlnoplochy se postupně zakřivují, ve velké vzdálenosti jsou téměř kulové).

Jak již bylo řečeno, příčné rozložení elektrické intenzity základního vidu TEM₀₀ je popsáno Gaussovou funkcí (nejvyšší intenzita je na ose svazku a zmenšuje se k okraji):

E (x, y) = E_{m a x} \exp (- \frac{ρ^{2}}{a_{0}^{2}}) = E_{m a x} \exp (- \frac{x^{2} + y^{2}}{a_{0}^{2}})

( 7.1A.2 )

kde ρ značí radiální vzdálenost bodu (x, y) od osy svazku a a₀ je tzv. poloměr svazku (radiální vzdálenost od osy svazku, v níž poklesne intenzita pole na hodnotu E_max/e; e = 2.718... .

Komplexní amplituda

Uvažujme paraxiální rovinnou vlnu exp(-jkz), kde k = 2π/λ je vlnové číslo, λ značí vlnovou délkou a z je souřadnice optické osy. Nechť je vlna modulována obálkou A(r, z), která se ve směru optické osy z mění relativně pomalu. Tedy pro komplexní amplitudu platí

U (r) = A (r, z) \exp (- j k z)

( 7.1A.3 )

O obálce předpokládáme, že při změně vzdálenosti o Δz = λ zůstává přibližně konstantní. Jedná se tedy lokálně o rovinnou vlnu, jejíž normály k vlnoploše tvoří paraxiální paprsky. Po úpravách dostáváme definici komplexní obálky Gaussova svazku v tomto tvaru:

A (r, z) = \frac{A_{1}}{q (z)} \exp [- j k \frac{ρ {(r)}^{2}}{2 q (z)}], q (z) = z + j z_{0}, ρ^{2} = x^{2} + y^{2}

( 7.1A.4 )

kde z₀ je tzv. Rayleighova vzdálenost.

Pro oddělení amplitudy a fáze komplexní obálky rozepíšeme funkci 1/q(z) na její reálnou část R(z) a část imaginární, reprezentovanou funkcí W(z). Tedy

\frac{1}{q (z)} = \frac{1}{R (z)} - j \frac{1}{π W^{2} (z)}

( 7.1A.5 )

Funkce R(z) popisuje pološířku Gaussova svazku a W(z) je poloměr křivosti vlnoplochy svazku.

Pro parametry svazku tedy lze dále definovat:

W (z) = W_{0} \sqrt{1 + {(\frac{z}{z_{0}})}^{2}}

( 7.1A.6 )

R (z) = z [1 + {(\frac{z}{z_{0}})}^{2}]

( 7.1A.7 )

W_{0} = \sqrt{\frac{λ z_{0}}{π}}

( 7.1A.8 )

Vlastnosti Gaussova svazku

Gaussův vlnový svazek je jednoznačně popsán následujícími parametry:

Intenzita záření
Výkon svazku
Poloměr svazku

S uvedenými parametry se nyní podrobněji seznamme.

Intenzita záření

Intenzita záření je funkcí axiální vzdálenosti z a radiální vzdálenosti ρ = (x² + y²)^1/2,

I (ρ, z) = I_{0} {[\frac{W_{0}}{W (z)}]}^{2} \exp [- \frac{2 ρ^{2}}{W^{2} (z)}]

( 7.1A.9 )

Na ose svazku (ρ = 0) má intenzita pro z = 0 svou maximální hodnotu I₀ a s rostoucím z spojitě klesá, přičemž pro z = ± z₀ dosahuje poloviny maximální hodnoty I₀.

Výkon svazku

Celkový výkon přenášený svazkem je dán integrálem ze součinu intenzity svazku a plochy jeho příčného průřezu

P = \int_{0}^{\infty} I (ρ, z) 2 π ρ d ρ

( 7.1A.10 )

Na ose svazku tedy platí

P = \frac{1}{2} I (0, z) π {[W (z)]}^{2}

( 7.1A.11 )

Uvnitř kružnice o poloměru ρ₀ = W(z) je přenášeno přibližně 86% celkového výkonu. Kruhem o poloměru 1.5 W(z) se šíří asi 99 % výkonu.

Protože se gaussovské svazky často charakterizují přenášeným výkonem P je vhodné vyjádřit I jako funkci P.

I (ρ, z) = \frac{2 P}{π W^{2} (z)} \exp [- \frac{2 ρ^{2}}{W^{2} (z)}]

( 7.1A.12 )

Poloměr svazku

V každém příčném průřezu dosahuje intenzita největší hodnoty na optické ose (z). A protože se většina výkonu šíří v oblasti o poloměru W(z), bereme W(z) jako poloměr svazku (též se setkáme s termíny pološířka nebo šířka svazku). Závislost poloměru svazku na podélné souřadnici z je dána vztahem

W (z) = W_{0} \sqrt{1 + {(\frac{z}{z_{0}})}^{2}}

( 7.1A.13 )

V rovině z = 0 nabývá minimální hodnoty W₀. Toto místo se nazývá místem maximálního zúžení středem svazku.

Další informace může čtenář nalézt v [16].