7.1 Gaussův vlnový svazek

Základní teorie

Při zkoumaní změn parametrů koherentního optického svazku při průchodu optickou trasou budeme předpokládat nejjednodušší laserový svazek vidu TEM00. Svazek vystupující ze zdroje bude rovnoběžný s optickou osou (jeho rovinná vln oplocha bude kolmá na směr šíření). I když svazek nebude modulovaný, rozložení intenzity pole v příčném průřezu svazku nebude obecně konstantní.

Vlny, jejichž normály vlnoploch svírají s optickou osou (osou z) malý úhel, se nazývají paraxiálními vlnami. Tyto vlny musejí splňovat rovnici

T2Aj2kAz=0, ( 7.1A.1 )

kde

T2=2x2+2y2

je příčná část Laplaceova operátoru, z je souřadnice podélné osy, k značí vlnové číslo a A je intenzita vlnění.

Jedním z řešení rovnice (7.1A.1) je Gaussův vlnový svazek. Výkon Gaussova svazku je soustředěn do úzkého kužele. Rozložení intenzity v libovolné příčné rovině je dáno kruhově symetrickou Gaussovou funkcí, přičemž osa symetrie je totožná s optickou osou. Šířka Gaussova svazku je minimální v tzv. krčku (v tomto místě má vlna rovinnou vlnoplochu) a od krčku se postupně zvětšuje na obě strany (vlnoplochy se postupně zakřivují, ve velké vzdálenosti jsou téměř kulové).

Jak již bylo řečeno, příčné rozložení elektrické intenzity základního vidu TEM00 je popsáno Gaussovou funkcí (nejvyšší intenzita je na ose svazku a zmenšuje se k okraji):

E(x,y)=Emaxexp(ρ2a02)=Emaxexp(x2+y2a02), ( 7.1A.2 )

kde ρ značí radiální vzdálenost bodu (x, y) od osy svazku a a0 je tzv. poloměr svazku (radiální vzdálenost od osy svazku, v níž poklesne intenzita pole na hodnotu Emax/e; e = 2.718... .


Komplexní amplituda

Uvažujme paraxiální rovinnou vlnu exp(-jkz), kde k = 2π/λ je vlnové číslo, λ značí vlnovou délkou a z je souřadnice optické osy. Nechť je vlna modulována obálkou A(r, z), která se ve směru optické osy z mění relativně pomalu. Tedy pro komplexní amplitudu platí

U(r)=A(r,z)exp(jkz). ( 7.1A.3 )

O obálce předpokládáme, že při změně vzdálenosti o Δz = λ zůstává přibližně konstantní. Jedná se tedy lokálně o rovinnou vlnu, jejíž normály k vlnoploše tvoří paraxiální paprsky. Po úpravách dostáváme definici komplexní obálky Gaussova svazku v tomto tvaru:

A(r,z)=A1q(z)exp[ jkρ(r)22q(z) ],q(z)=z+jz0,ρ2=x2+y2, ( 7.1A.4 )

kde z0 je tzv. Rayleighova vzdálenost.

Pro oddělení amplitudy a fáze komplexní obálky rozepíšeme funkci 1/q(z) na její reálnou část R(z) a část imaginární, reprezentovanou funkcí W(z). Tedy

1q(z)=1R(z)j1πW2(z). ( 7.1A.5 )

Funkce R(z) popisuje pološířku Gaussova svazku a W(z) je poloměr křivosti vlnoplochy svazku.

Pro parametry svazku tedy lze dále definovat:

W(z)=W01+(zz0)2, ( 7.1A.6 )
R(z)=z[ 1+(zz0)2 ], ( 7.1A.7 )
W0=λz0π. ( 7.1A.8 )
Vlastnosti Gaussova svazku

Gaussův vlnový svazek je jednoznačně popsán následujícími parametry:

  • Intenzita záření
  • Výkon svazku
  • Poloměr svazku

S uvedenými parametry se nyní podrobněji seznamme.

Intenzita záření

Intenzita záření je funkcí axiální vzdálenosti z a radiální vzdálenosti ρ = (x2 + y2)1/2,

I(ρ,z)=I0[ W0W(z) ]2exp[ 2ρ2W2(z) ]. ( 7.1A.9 )

Na ose svazku (ρ = 0) má intenzita pro z = 0 svou maximální hodnotu I0 a s rostoucím z spojitě klesá, přičemž pro z = ± z0 dosahuje poloviny maximální hodnoty I0.

Výkon svazku

Celkový výkon přenášený svazkem je dán integrálem ze součinu intenzity svazku a plochy jeho příčného průřezu

P=0I(ρ,z)2πρdρ. ( 7.1A.10 )

Na ose svazku tedy platí

P=12I(0,z)π[ W(z) ]2. ( 7.1A.11 )

Uvnitř kružnice o poloměru ρ0 = W(z) je přenášeno přibližně 86% celkového výkonu. Kruhem o poloměru 1.5 W(z) se šíří asi 99 % výkonu.

Protože se gaussovské svazky často charakterizují přenášeným výkonem P je vhodné vyjádřit I jako funkci P.

I(ρ,z)=2PπW2(z)exp[ 2ρ2W2(z) ]. ( 7.1A.12 )
Poloměr svazku

V každém příčném průřezu dosahuje intenzita největší hodnoty na optické ose (z). A protože se většina výkonu šíří v oblasti o poloměru W(z), bereme W(z) jako poloměr svazku (též se setkáme s termíny pološířka nebo šířka svazku). Závislost poloměru svazku na podélné souřadnici z je dána vztahem

W(z)=W01+(zz0)2. ( 7.1A.13 )

V rovině z = 0 nabývá minimální hodnoty W0. Toto místo se nazývá místem maximálního zúžení středem svazku.

Další informace může čtenář nalézt v [16].


Copyright © 2010 FEEC VUT Brno All rights reserved.