Multimediální učebnice

Slovník pojmů

Hertzův vektor

Předpokládejme, že se nacházíme v ideálním dielektriku, polarizovaném vnějším elektrickým polem. Tato polarizace je popsána vektorem vnucené elektrické polarizace P_vn. Potom můžeme elektrickou indukci vyjádřit jako

D = ε_{0} E + P_{v n}

( 1 )

Po dosazení elektrické indukce D (1) do prvé Maxwellovy rovnice dostáváme za předpokladu nulového vnuceného proudu J_vn = 0 (indukovaný proud je rovněž nulový, neboť ideální dielektrikum má nulovou vodivost)

rot H - j ω ε_{0} E = j ω P_{v n}

( 2 )

a třetí Maxwellova rovnice přejde na tvar

div E = - \frac{div P_{v n}}{ε_{0}}

( 3 )

Ze vztahů (2) a (3) získáme vlnové rovnice pro vektorový potenciál

\nabla^{2} A + k^{2} A = - j ω μ_{0} P_{v n}

( 4 )

a pro potenciál skalární

\nabla^{2} φ + k^{2} φ = \frac{div P_{v n}}{ε_{0}}

( 5 )

Vyjádřeme nyní potenciály A a φ s použitím pomocného vektoru Π^e výrazy

A = j ω μ_{0} ε_{0} Π^{e}

( 6 )

φ = - div Π^{e}

( 7 )

Po dosazení (6) do vlnové rovnice (4) a (7) do (5) dojdeme ke vztahům

j ω μ_{0} ε_{0} [\nabla^{2} Π^{e} + k^{2} Π^{e} + \frac{P_{v n}}{ε_{0}}] = 0

( 8 )

- div [\nabla^{2} Π^{e} + k^{2} Π^{e} + \frac{P_{v n}}{ε_{0}}] = 0

( 9 )

Určíme-li tedy vektor Π^e tak, aby vyhovoval rovnici

\nabla^{2} Π^{e} + k^{2} Π^{e} = - \frac{P_{v n}}{ε_{0}}

( 10 )

jsou zároveň splněny rovnice (8) a (9). Tím jsme pro případ, kdy J_vn = 0, převedli řešení Maxwellových rovnic na řešení jediné nehomogenní rovnice. Tuto možnost objevil Hertz a vektor Π^e je označován jako elektrický Hertzův vektor.

Duálním postupem lze zavést Hertzův vektor magnetický.

Zpět