Slovník pojmů

Metoda konečných prvků

Metoda konečných prvků je obecnou metodou numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic. Metoda konečných prvků sestává z těchto základních kroků:

1. Analyzovanou strukturu rozdělíme na podoblasti (konečné prvky), které se vzájemně nepřekrývají a jejichž sjednocení zahrnuje všechny body analyzované oblasti. V prostoru konečného prvku musejí být parametry analyzované struktury (permitivita, permeabilita, vodivost) konstantní. Na velikost a na tvar konečných prvků nejsou kladena žádná omezení.
2. Máme-li analyzovanou strukturu rozdělenu na jednotlivé konečné prvky, můžeme formálně vyjádřit aproximaci hledané neznámé funkce (např. rozložení potenciálu v průřezu stíněného mikropáskového vedení) nad celou plochou jednoho každého konečného prvku. Obvykle přitom neznámé řešení aproximujeme lineární kombinací zvolených aproximačních funkcí a neznámých aproximačních koeficientů. Dostáváme tak jednu rovnici o M neznámých aproximačních koeficientech. Podaří-li se nám tyto neznámé koeficienty nalézt, získáme aproximaci rozložení hledané veličiny v celé analyzované oblasti.
3. Pokud bychom dosadili získané přibližné řešení problému do výchozí parciální diferenciální rovnice, nebyla by v důsledku přibližnosti řešení splněna tato rovnice dokonale. Tuto skutečnost respektujeme zavedením zbytkové funkce (rezidua). Aproximace bude přirozeně tím přesnější, čím menších hodnot bude nabývat zbytková funkce. Proto se budeme snažit zbytkovou funkci minimalizovat, a to přes celou zkoumanou oblast. Jednou z možností, která se nám pro minimalizaci nabízí, je metoda vážených reziduí.
4. Postupujeme-li podle metody vážených reziduí, musíme vynásobit reziduum vhodnou váhovou funkcí. Získaný součin potom integrujeme přes celou zkoumanou oblast a výsledek položíme roven nule. Použitím tolika různých, vhodně zvolených váhových funkcí, kolik je neznámých aproximačních koeficientů, dostaneme lineární soustavu se stejným počtem rovnic, jaký je počet neznámých koeficientů. Vyřešením této soustavy neznámé aproximační koeficienty jednoznačně určíme.
5. Vyřešením maticové rovnice pro vektor neznámých aproximačních koeficientů získáme řešení problému. Dosazením aproximačních koeficientů do formální aproximace dostaneme aproximaci hledané funkce v každém bodě každého konečného prvku, sjednocením aproximací nad všemi konečnými prvky pak získáme globální aproximaci ve všech bodech prostoru, nad kterým jsme hledali řešení zadané parciální diferenciální rovnice.